Kugel

Dieser Text beschreibt Kugel.

Dieser Artikel behandelt den mathematischen Begriff Kugel. Für weitere Bedeutungen siehe Kugel (Begriffsklärung).

Eine Kugel ist in der Mathematik ein kugelförmiger dreidimensionaler Körper, genauer ist eine Kugel die Menge aller Punkte bzw. der geometrische Ort aller Punkte in dem 3-dimensionalen Euklidischen Raum, die einen Abstand kleiner als r von einem festen Punkt des Raumes haben. r ist dabei eine positive reelle Zahl, genannt Radius der Kugel. Die Oberfläche der Kugel bezeichnet man als Kugelfläche, oder Sphäre. Da der Begriff Kugel auch fälchlicherweise als Synonym für der Kugeloberfläche benutzt wird, benutzt man, um sich deutlicher abzugrenzen, auch den Begriff Vollkugel anstatt Kugel.

Eine Kugel mit Zentrum(x₀, y₀, z₀) und Radius r ist die Menge aller Punkte (x,y,z), so dass

Die Punkte auf der Oberfläche einer Kugel mit dem Radius r und dem Zentrum in dem Ursprung können wie folgt parametrisiert werden:

siehe auch: trigonometrische Funktionen, sphärische Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten)

Die Oberfläche O einer Kugel mit Radius r ergibt sich als: O = 4πr².

Das Kugelvolumen V berechnet sich als: .

Nachfolgend wird eine Ableitung für das Kugelvolumen dargestellt:

Nach Archimedes wird der Nachweis über die Berechnung eines Zylinder- und eines Kegel inhalts geführt. Man nimmt einen Zylinder dessen Grundfläche den Durchmesser der zu berechnenden Kugel hat und dessen Höhe den Radius der Kugel hat. In diesen Zylinder legt man einen Kegel, dessen Spitze in dem Mittelpunkt des unteren Grundkreises des Zylinders liegt und dessen Grundfläche mit der oberen Grundfläche des Zylinders identisch ist. Nun kann man nachweisen, dass das Differenzvolumen dieser beiden Körper (Zylinder minus Kegel) gleich dem Volumen der Halbkugel mit dem gleichen Durchmesser ist. Schneidet man nämlich beide Körper in einer beliebigen Höhe y ergeben sich als Schnittfläche für die Halbkugel eine Kreisfläche und für den Restkörper ein Kreisring. Diese Flächen sind gleich groß (siehe Skizze) und damit muss auch das Volumen gleich sein.

Aus dem Differenzvolumen Zylinder – Kegel kann man nun schnell die Kugelformel ermitteln:

Zylinder:

Kegel:

Restkörper (= Halbkugel):

Damit ist das Volumen der Vollkugel:

Die Kugel hat die kleinste Oberfläche von allen Körpern mit einem vorgegebenen Volumen. Von allen Flächen mit vorgegebenen Flächeninhalt umschließt sie das größte Volumen. Aus diesem Grund tritt die Kugel auch in der Natur auf: Blasen (siehe Seifenblase) und Wassertropfen sind Kugeln (ohne Berücksichtigung der Gravitation), weil die Oberflächenspannung versucht, die Oberfläche zu minimieren. Planeten sind Kugeln, weil sie bei ihrer Entstehung flüssig waren und die Kugel die Form mit der größten Gravitations-Bindungsenergie ist.

Der einer Kugel umschriebene Zylinder hat das 3/2-fache Volumen der Kugel. Das sowie die Oberflächen- und Volumen-Formeln waren bereits dem Griechen Archimedes in der Antike bekannt.

Eine Kugel kann auch als diejenige Fläche definiert werden, die bei der Rotation eines Kreises um seinen Durchmesser entsteht. Wird der Kreis durch eine Ellipse ersetzt, entsteht stattdessen ein Sphäroid.

Kugeln können auf andere Dimensionen erweitert werden. Für jede natürliche Zahl n ist eine n-Kugel definiert als die Menge von Punkten in dem (n+1)-dimensionalen Euklidischen Raum, die den Abstand r von einem festen Punkt des Raumes haben wobei r eine positive reelle Zahl ist.

Eine 2-Kugel ist also eine gewöhnliche Kugel, während eine 1-Kugel ein Kreis und eine 0-Kugel ein Punkte-Paar ist. Die n-Kugel mit Einheitsradius mit Zentrum in dem Ursprung wird mit Sⁿ genannt und heißt häufig "die" n-Kugel.

Das n-dimensionale Volumen einer (n-1)-Kugel mit dem Radius r ist

Hier ist Γ(x) die Gammafunktion, eine kontinuierliche Erweiterung der Fakultät. Die (n-1)-dimensionale Oberfläche ist gleich der Ableitung des Volumens nachdem Radius,

Eine n-Kugel ist ein Beispiel einer kompakten n-Mannigfaltigkeit.